Teilsysteme

Wenn wir uns die Punkte wegdenken, die keine Verbindung mehr aufnehmen können, kann der Graph kann in unabhängige Teilsysteme zerfallen,
so dass von einem Teilbereich keine (indirekte) Verbindung mehr zu einem andern Teil möglich ist.
Dann lässt sich der Spielewert der gesamt Stellung aus Betrachten der Einzelsysteme ableiten.

Wenn z.B ein Teilsystem eine feststehend gerade Anzahl Züge hat, dann kann man es entfernen und der Spielwert der Gesamtstellung bleibt der selbe. Im Bild gibt es 2 Teilsysteme, eines mit einem Einzelpunkt , und eines mit einem Einzelpunkt und einem, der noch 1 Kante frei hat. Das System mit dem Einzelpunkt hat immer 2 Züge. Daher können wir es uns wegdenken. Im übrigbleibenden Spiel kann der Anziehende 3 Züge erzwingen und gewinnen.

Wenn die Teilspielbäume komplexer sind,  sieht es erstmal schwieriger aus. Innerhalb eines Systems brauchen die Spieler auch nicht immer abwechselnd ziehen; ein Spieler kann ja zwischendrin in einem anderrn System ziehen.

Die Teilspielbäume der einzelnen System lassen sich aber (bei <= 8 Startpunkten) in 16 Kategorien einteilen, so dass alle Systeme die zu einer Kategorie gehören, die gleiche Bedeutung für den Gesamtwert der Stellung haben.

Die Kategorien sind:
G0: Das System hat eine gerade Anzahl Züge;  bzw der Nachziehende Spieler kann erzwingen, dass es eine gerade Anzahl hat
G1: Das System hat eine ungerade Anzahl Züge;   bzw. der Anziehende oder sonst der Nachziehende können die ungerade Anzahl erzwingen
G2: Der anziehende Spieler kann und muss entscheiden, ob es eine gerade oder ungerade Zugzahl hat
G3: Der anziehende Spieler kann entscheiden, kann aber auch so spielen die Entscheidung im nächsten Zug gefällt werden muss
G4: Wie G3 + der Anziehende kann auch so spielen, dass G3 entsteht
...: ...

Begründung für G0:
Der Spieler, der Restspiel ohne das Teilsystem auf Gewinn steht, kann immer erreichen das er im G0 System als zweiter zieht, denn im Restspiel macht er den letzten Zug, und sein Gegner muss als erstes im G0 System ziehen. Dann kann der Spieler dort als Nachziehender die gerade Zugzahl erzwingen und gewinnen.
Alle Systeme aus G0 sind also äquivalent zu Systemen, die eine feststehend gerade Zugzahl haben

Die Kategorien der Teilsysteme lassen sich Verknüpfen, um die Kategorie des Gesamtgraphen zu erhalten (Ausschnitt):
G0 G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7
G0 G0 G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7
G1 G1 G0 G3 G2 G5 G4 G7 G6
G2 G2 G3 G0 G1 G6 G7 G4 G5
G3 G3 G2 G1 G0 G7 G6 G5 G4

Die Verknüpfung ist kommutativ und assoziativ. G0 ist das neutrale Element.
Es ergibt sich bei G0..G3 eine Symmetrie zwischen "Wer den letzten Zug mach, gewinnt", und "Wer die letzte Entscheidung trift, gewinnt".
Nummeriert man G0G1G2...mit 012... und stellt die Zahlen im 2er System dar, dann entspricht die Tabelle der bitweisen xoder-Verknüpfung

Hat der Gesamtgraph die Kategorie G0, dann gewinnt der Nachziehende; sonst gewinnt der Anziehende.

Die Katogorie eines Systems lässt sich aus den Kategorien seiner möglichen Nachfolgerstellungen ermitteln:
Die Theorie lässt sich auch auf andere Spiele übertragen, wo die Spieler abwechselnd ziehen, das Ergebniss davon abhängt, wer den letzten Zug macht, und seperate Teilspielbäume existieren können.

Ein Beweis ist hier