| schreibweise | (O,≤); reflexiv | (O,<); irreflexiv | |
| alt. relation | a<b :↔ a≤b ∧ a¬=b (1) | a≤b :↔ a<b ∨ a=b (2) | |
| (halb)ordnung | ho(O) | a≤a a≤b∧b≤a→a=b a≤b∧b≤c→a≤c |
¬a<a a<b∧b<c→a<c |
| totalordnung | tg(O) | ho + a ≤b ∨ b≤a | ho+ a<b∨b>a∨a=b |
| wohlordnung | wo(O) | to + ∀M⊆O:hme(M) | |
| (rho(≤)
∧ (1)) ⇔ (iho(<)
∧ (2)), ebenso mit to |
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| Teilmengen von ho/to sind auch ho/to. Im folgenden ho(O,≤); M⊆O; Quantoren über O | |||
| abkürzung | x≤M:⇔∀a∊M:a≤x | x<M:⇔∀a∊M:a<x | |
| kl. element | ke(M,m) | m∊M∧m≤M | m∊M∧∀x∊M:m<a∨m=x |
| gr. element | ge(M,m) | m∊M∧M≤m | m∊M∧∀x∊M:x<m∨x=m |
| minimales element | ie(M,m) | m∊M∧∀x∊M:x≤m→x=m | m∊M∧¬∃x∊M:x<m |
| maximales element | xe(M,m) | m∊M∧∀x∊M:m≤x→m=x | m∊M∧¬∃x∊M:m<x |
| unt. schranke | lb(M,b) | b≤M | ∀x∊M:b<x∨b=x |
| ob. schranke | ub(M,b) | M≤b | ∀x∊M:x<b∨x=b |
| infimum | inf(M,i) | i≤M∧(∀z:z≤M→z≤i) | < = grösste untere schranke |
| supremum | sup(M,s) | M≤s∧(∀z:M≤z→i≤z) | < = kleinste obere schranke |
| ke(M,a)∧ke(M,b) ⇒ a=b | ge(M,a)∧ge(M,b) ⇒ a=b |
| ke(M,a)∧ie(M,b) ⇒ a=b | ge(M,a)∧xe(M,b) ⇒ a=b |
| inf(M,a)∧inf(M,b) ⇒ a=b | sup(M,a)∧sup(M,b) ⇒ a=b |
| ke(M,i) ⇒ ie(M,i) | ge(M,i) ⇒ xe(M,i) |
| ke(M,i) ⇒ inf(M,i) ⇒ lb(M,i) | ge(M,s) ⇒ sup(M,s) ⇒ ub(M,s) |
| inf(M,i)∧i∊M ⇔ ke(M,i) | sup(M,i)∧i∊M ⇔ ge(M,i) |
| lb(M,i)∧i∊M ⇔ ke(M,i) | ub(M,i)∧i∊M ⇔ ge(M,i) |
| inf(M) = max(lbs(M)) = sup(lbs(M)) | sup(M) = min(ubs(M)) = inf(ubs(M)) |
| tg(M)⇒ (ke(M,m) ⇔ ie(M,m)) | tg(M)⇒ (ge(M,m) ⇔ xe(M,m)) |
| endl(M) ⇒ hie(M) ∧ hxe(M) | endl(M)∧tg(M) ⇒ hke(M) ∧ hge(M) |
| hke(O)∧hge(O) ⇒ (∀M:hinf(M))↔(∀M:hsup(M)) | |
| M≠∅⇒ ∃T⊆M:tg(T)∧∀U⊆M:T⊂U→¬tg(U) | |
| M≠∅∧∀T⊆M:tg(T)→hlb(T) ⇒ hie(M) | M≠∅∧∀T⊆M:tg(T)→hub(T) ⇒
hxe(M) |
| A⊆B ⇒ inf(B) ≤ inf(A) | A⊆B ⇒ sup(A) ≤ sup(B) |
| inf {inf m|m∊M} = inf ⋃M | sup {sup m|m∊M} = sup ⋃M |
| a≤b ⇔ inf {a,b}=a ⇔ sup{a,b}=b | jeweis wenn inf,sup existieren |