Mengen

A=B ⇔ ∀x:x∊A↔x∊B
A⊆B ⇔ ∀x:x∊A→x∊B
A⊊B ⇔ A⊆B∧A≠B

x∊A∩B ⇔ x∊A∧x∊B
x∊A∪B ⇔ x∊A∨x∊B
x∊A\B ⇔ x∊A∧¬x∊B
x∊A∆B ⇔ x∊A¬↔x∊B

a∊Pot A ⇔ a⊆A
(a,b)=(c,d) ⇔ a=c∧b=d
(a,b)∊A×B ⇔ a∊A∧b∊B
x∊{a,b,...} ⇔ x=a∨x=b∨...
x∊{a∊A∣φ(a)} ⇔ x∊A∧φ(x)
x∊{f(a)∣a∊A}⇔ x∊f(A);
⇔∃a∊A:f(a)=x
x∊⋂A ⇔ ∀a∊A:x∊a
x∊⋃A ⇔ ∃a∊A:x∊a

{x}⊆A⇔x∊A
⋃_i∊I M_i = ⋃{M_i|i∊I} = {z|∃i∊I:z∊M_i}
⋂_i∊I M_i = ⋂{M_i|i∊I} = {z|∀i∊I:z∊M_i}
x∊⋃_i∊I M_i ⇔ ∃i∊I:x∊M_i
x∊⋂_i∊I M_i ⇔ ∀i∊I:x∊M_i
∀i:A⊆M_i ⇔ A⊆⋂_iM_i
∀i:A⊇M_i ⇔ A⊇⋃_iM_i
∀i:A⊇M_i ⇒ A⊇⋂_iM_i
∃i:A⊆M_i ⇒ A⊆⋃_iM_i

∀x∊{a∊A\|ψ(a)}:φ(x) ⇔ ∀x∊A:ψ(x)→φ(x)	∃x∊{a∊A\|ψ(a)}:φ(x) ⇔ ∃x∊A:ψ(x)∧φ(x)
∀x∊{f(a)\|a∊A}:φ(x) ⇔ ∀a∊A:φ(f(a))	∃x∊{f(a)\|a∊A}:φ(x) ⇔ ∃a∊A:φ(f(a))
∀x∊⋃_i∊IM_i:φ(x) ⇔ ∀i∊I ∀x∊M_i:φ(x)	∀x∊⋃M:φ(x) ⇔ ∀m∊M ∀x∊m:φ(x)
∃x∊⋃_i∊IM_i:φ(x) ⇔ ∃i∊I ∃x∊M_i:φ(x)	∃x∊⋃M:φ(x) ⇔ ∃m∊M ∃x∊m:φ(x)
∀x∊⋂_i∊IM_i:φ(x) ⇔ ∀x ∃i∊I:x∊M_i→φ(x)	∀x∊⋂M:φ(x) ⇔ ∀x ∃m∊M:x∊m→φ(x)
∃x∊⋂_i∊IM_i:φ(x) ⇔ ∃x ∀i∊I:x∊M_i∧φ(x)	∃x∊⋂M:φ(x) ⇔ ∃x ∀m∊M:x∊m∧φ(x)

Aussagen über Mengen lassen sich oft direkt in Aussagenlogik übersetzen. =,⊆; ∩,∪,\,∆ werden zu ↔,→; ∧,∨,↛,↮. Beachte, dass pro Relation ein eigener Quantor fällig wird. Also:
A⊆B∨B⊆A⇔ (∀x:x∊A→x∊B)∨(∀x:x∊B→x∊A) und nicht ∀x:((x∊A→x∊B)∨(:x∊B→x∊A))
Sind alle beteiligten Mengen Teilmenge einer Hauptmenge, dann bilden sie eine komplette Boolsche Algebra. A^c wird zu ¬a.
∀x:¬x∊∅; ∅⊆A
A⊆B ⇔ A∩B=A ⇔ A∪B=B ⇔ A\B=∅ ⇔ B\(B\A}=A A∩B=∅∧A∪B=C ⇒ A=C\B
A=B ⇔ A⊆B∧B⊆A; A⊆B∧B⊆C ⇒ A⊆C; A⊆B ⇔ B^c⊆A^c A⊆B ⇒ X\B⊆X\A
A∩B=∅ ⇔ A⊆B^c⇔ B⊆A^c

A∪B=B∪A	(A∪B)∪C = A∪(B∪C)	A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
A∩B=B∩A	(A∩B)∩C = A∩(B∩C)	A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
A∪A=A	(A∩B)^c=A^c∪B^c	(A∪B)^c=A^c∩B^c
A∩A=A	(A\B)\C=A\(B∪C)	(A∩B)\C=(A\C)∩(B\C)
A∩∅=∅	A\(B\C)=(A\B)∪(A∩C)	(A∪B)\C=(A\C)∪(B\C)
A∪∅=A	(A∆B)∆C=a∆(B∆C)	A\(B∩C)=(A\B)∪(A\C)
A∆B=B∆A	A∆∅=∅; A∆A=∅	A\(B∪C)=(A\B)∩(A\C)
	(A\B)∪C=(A∪C)\(B\C)	(A\B)∩C=(C\B)∩A=(A∩C)\B
A⊆A∪B	(A∩B)∪A = A	A\(A∩B)=A\B
A⊇A∩B	(A∪B)∩A = A	A\(A∪B)=∅
A\A=∅	A∩(B\A)=∅	A\(A\B)=A∩B
A\∅=A	A∪(B\A)=A∪B	A\(B\A)=A
	A∩(A\B)=A\B	(A\B)\A=∅
	A∪(A\B)=A	(A\B)\B=A\B

A⊆A'∧B⊆B'⇒A∩B⊆A'∩B'	A⊆A'∧B⊆B'⇒A\B'⊆A'\B
A⊆A'∧B⊆B'⇒A∪B⊆A'∪B'

(⋃A)∪(⋃B) = ⋃(A∪B)	⋃_i(A_i∩B)=(⋃_iA_i)∩B	(A∩B)×C=(A×C)∩(B×C)
(⋂A)∩(⋂B) = ⋂(A∪B)	⋂_i(A_i∪B)=(⋂_iA_i)∪B	(A∪B)×C=(A×C)∪(B×C)
(⋃A)∩(⋃B) = ⋃{a∩b∨a∊A,b∊B}	⋃_i(A_i\B)=(⋃_iA_i)\B	(A\B)×C=(A×C)\(B×C)
(⋂A)∪(⋂B) = ⋂{a∪b∨a∊A,b∊B}	⋂_i(A_i\B)=(⋂_iA_i)\B
A⊆B ⇒ ⋃A ⊆ ⋃B	⋃_i(B\A_i)=B\⋂_iA_i	(A×B)∩(C×D)=(A∩C)×(B∩D)
A⊆B ⇒ ⋂A ⊇ ⋂B	⋂_i(B\A_i)=B\⋃_iA_i	C≠∅ ⇒ (A⊆B ⇔ A×C⊆B×C)
m∊M⇒m⊆⋃M	(⋃_iA_i)∩(⋃_kB_k)=⋃_(i,k)(A_i∩B_k)
m∊M⇒m⊇⋂M	usw.